志賀先生の数学教育 ー その１ | 志賀浩二先生と愉快な仲間たち

　平成13年に設置認可された6年制の中等教育学校用教科書・参考書として、東工大名誉教授の志賀浩二先生の「中高一貫数学コース１年～5年」「中高一貫数学コース1年～5年を楽しむ」 (全10巻＋１) が岩波書店から出版されました。平成13年度から平成16年度までの丸3年＋αの間、桐蔭学園中等教育学校で志賀先生と私は実際にこの教科書を使って授業指導をしました。その内容が10年早かったのかどうかは別にして、この教科書は日本数学会から教育書部門で出版賞をいただきました。その後各教科書会社から、一斉に中高一貫校向けの1年生～5年生対応の教科書が出版され、今ではこの形が主流となっています。 

　志賀先生の数学教育に対する考え方が凝縮された教科書・参考書で、論理のつながりを重視して順序立てられ、今何を学んでいるかが学習する側自らが俯瞰できることを重視した、ピラミッド型の数学教育の在り方に一石を投じることが狙いでした。特に、中高生の知的好奇心を喚起することで、当たり前と思っていることに対する疑問を引き出して考えさせることを重視した教科書であると同時に、指導する教師側への心構え・要望などが一杯詰まった教科書となっていました。
　この教科書で指導していた当時、よくいわれたことは「そんな難しいことを生徒がわかるわけがない」という批判、「受験力という観点からの否定的な意見」が多く寄せられました。しかし、この教科書で問うているのは、問題を解くための力以上に、考える力をどう育てていくのかということでした。すなわち、教える教師側と教わる生徒側に区別して生徒の考え方をコントロールしようという教える側のある種独善的な教育観を払しょくし、一定の厳密性を犠牲にしてでも生徒の側に、本質的な事柄に目を向けさせて自律的な学習を確立させたいという点を大切にしたのです(私の表現力のなさで、一方的な極論と捉えられたらご容赦ください)。
　私は、実際に指導する中で数学で学ぶことの本質的なダイナミズムを内包した教科書でもあると思っています。
　例として、微分・積分の分野の学習指導を通して、この教科書の意図を考えてみます。現行の高校２年の教科書での微分・積分分野の扱いは、微分と積分の本来的な理解は後回し(高校3年)にされ、後で必要になるからとりあえずこれを覚えなさい的に、微分を使わずにイメージできる整関数、それも4次関数レベルまでの内容でまとめられます。この形で扱われていることと「中高一貫数学コース　3年」および「楽しむ」の記述を比べれば言いたいことがわかっていただけると思います。どうして微積を使わずともイメージできることをなぜわざわざ切り貼り的に学ばせるのでしょうか。中学で学ぶ2次関数の各係数の働きを勉強する部分をもう一歩踏み出すだけで、志賀先生の教科書の内容になると思いますが如何でしょうか。現行の指導は、高校3年生の数学Ⅲの微分・積分(初等超越関数ｰ三角関数・指数関数・対数関数)の学習に集約するための「待て！」という指導です。その結果、式の意味やグラフの特性などを考える一番大切なことが、増減表をかくことだけにまとめらてしまっています。整関数であれば、増減表がなくてもグラフの追跡ができてしまう(1次・2次関数)のにです。このように、将来のために今を犠牲にする学習ではやってみようか、面白そうだなというダイナミズムを生徒に感じさせることはできません。同時に、考えるための想像力(重要ですよね)も深まらないと思いますが如何でしょう。
　また、２次関数では平方完成することで軸に関する対称性が理解され、３次関数ではある点に関する対称性やグラフの振れ幅の変動を１次の項の係数と符号の働きを通して理解できると、カルダノの定理とも関連させることができます。もちろんガロアの対称群の世界にもつながります。これについては、現代数学社から出版された矢ヶ部巌先生の著書がわかりやすいです。平成19年頃当時勤務していた桐蔭中等教育学校の担当生徒に教科書を通して学ぶ方程式の解法や解と係数の関係のなかでそっと潜んでいる対称性のもつ意味感じてもらい、若くして決闘の中で20歳の若さで倒れたガロアのなした群論の入り口を感じてもらおうと一大決心をして、矢ヶ部先生の本を読み直して冊子を作り配布したいと考えました。そこで、私が昔現代数学社の読者の一人として読ませていただき、頭の隅に残っていた矢ヶ部先生の本を手にしたいと考えて探しましたが、すでに絶版となっていました。そこで思い余って現代数学社に電話して、乱丁本でもよいので購入できないかと相談しました。切々と何故その本を手に入れたいかを話したところ、対応してくれた担当の方から後日送られてきました。それから、生徒にガロアを知ってもらおうという一心で冊子ではなく小冊子になってしまいましたが、配布してまとめきれなかった多くのことのさわりを折に触れ話した思い出があります。
　蛇足になりますが、私の定年退職時の最後の卒業生(桐蔭中等教育学校12期)の生徒たちに思い出話をしたところ、中等4年生から1年間をかけて群論3部作の第1部を読み終えました。そこで私がそしたら後2年で読み終えるねというと「いえ、最初だったので定義その他で苦労しましたが、1冊読み終えたので後はスムーズにやれるので、後1年かからずに読み終えます」と宣言してその通りになりました。この生徒は、京都大学理学部数学科に行きたくて一緒に勉強をしていたのですが、祖父の方がお医者さんで何としても孫は医者にしたいと家族を巻き込んで説得ダメ出しをしました。3年生の11月の防衛医科の入試では、英語8割、数学に至っては後ろから解いていって完答、これでは京都に行けないと化学は白紙答案を提出したのですが、横市の医学部に入学して現在専門医になっています。人生いろいろいですね。
　大幅に回り道をしましたが、本線に戻ります。学習することの意味を掘り下げて知的好奇心を喚起することを通して指導しようと考えたのが志賀先生の教科書の立場なのです。現行の教科書は、微分、積分の理論の説明のないところで無理やり微分積分を教えるのに対して、志賀先生は、無限大・無限小を考えさせるために微分積分を教えます。本質的なことを勉強する機会をどう与えるのか、いつ与えるかに重点を置いた教科書でした。残念ながら、教える場では何を教えるかより難しくないか受験でどうかが優先され、3年間でこの試みは中止になりました。今、新しい学習指導要領のもとで「身近なものを考える」という代名詞のもとで数学と統計学・情報学が文系的な観点で混在させられつつあります。私の中学・高校・大学時代「日本はマネをすることは上手く改良技術は秀でているが、なぜそうなるかなどの基礎的な理論から考えることが苦手である」と諸外国から揶揄されていたことを思い出します。今、失われた50年という真逆の地点に立っているように思うのは私だけでしょうか。
　ところで、志賀先生の教科書には問題に対する「答」がまったく記述されていません。それは答を記述することにより、学習者が与えられた答に合わせようとしたり、答の正誤で考え方を評価したりすることをやめさせたいと考えたからです。こういう発想こそ、私たちが何かを学ぶ上で大切なことだと思いますが、如何でしょうか。
　あれから20数年が経ち、今アクティブラーニングという学習法が注目されています。この発想法こそ、すでに志賀先生の教科書に組み込まれていたものでした。 また、生徒に関数電卓を持たせて、授業中に計算させていたのも志賀先生が最初かもしれません。この観点に立てば、共通テストの統計処理分野で関数電卓を大量に発注して実施するのも真近かだと予想するのですが、発想は真逆であることをお断りしておきます。

　適塾よこはまでは、初期の頃に発想の多様性や数学的な思考方法の有用性を教えたい、そして何よりも数学の楽しさを感じてもらおうと考えて、受験とは切り離した形で志賀先生の教科書を使った中学生対象のセミナーを開催しておりました。その内容は以下の通りでした。現在は終了しております。

中高一貫数学コース(全11巻) の構成

A「新しい数学教科書の構想」

これからの数学教育についての著者の考え方を中心にして、この教科書の使い方や学び方を教える先生方と教わる生徒の皆さんへのメッセージをこめてまとめたものです。このシリーズの概説書にあたります。

B「中高一貫数学コース」(全5巻)

「数学1」～「数学5」までの全5巻で構成され、中等教育学校の6年間の数学教育のうち1年生から5年生までの教科書として執筆されました。中等6年生用の教科書がないのは、6年時にはこれまで勉強してきた数学を全体的にまとめることと、受験勉強に備えるという考え方に立っているためです。

C「中高一貫数学コースを楽しむ」(全5巻)

教科書「数学1」～「数学5」に対応し、「数学1を楽しむ」～「数学5を楽しむ」までの全5巻で構成されています。教員にとっての指導書であり、教科書を使って学習する皆さんにとっては、教科書の内容を深める知的好奇心を満足させるものです。